Superconvergence for Neumann boundary control problems governed by semilinear elliptic equations

This paper is concerned with the discretization error analysis of semilinear Neumann boundary control problems in polygonal domains with pointwise inequality constraints on the control. The approximations of the control are piecewise constant functions. The state and adjoint state are discretized by piecewise linear finite elements. In a postprocessing step approximations of locally optimal controls of the continuous optimal control problem are constructed by the projection of the respective discrete adjoint state. Although the quality of the approximations is in general affected by corner singularities a convergence order of $h^2|\ln h|^{3/2}$ is proven for domains with interior angles smaller than $2\pi/3$ using quasi-uniform meshes. For larger interior angles mesh grading techniques are used to get the same order of convergence

Second order sufficient optimality conditions for parabolic optimal control problems with pointwise state constraints

In this paper we study optimal control problems governed by semilinear parabolic equations where the spatial dimension is two or three. Moreover, we consider pointwise constraints on the control and on the state. We formulate first order necessary and second order sufficient optimality conditions. We make use of recent results regarding elliptic regularity and apply the concept of maximal parabolic regularity to the occurring partial differential equations

Numerische Konzepte und Fehleranalysis zu elliptischen Randsteuerungsproblemen mit punktweisen Zustands- und Kontrollbeschränkungen

Optimization in technical applications described by partial differential equations plays a more and more important role. By means of the control the solution of a partial differential equation called state is influenced. Simultaneously a cost functional has to be minimized. In many technical applications pointwise constraints to the state or the control are reasonable. It is well known that the Lagrange multipliers with respect to pure state constraints are in general only regular Borel measures. This fact implies a lower regularity of the optimal solution of the problem. In this dissertation a linear quadratic optimal control problem governed by an elliptic partial differential equation an Neumann boundary control is investigated. Furthermore, we consider pointwise state constraints in an inner subdomain and bilateral constraints on the boundary control. Despite the above mentioned problems, we benefit from the localization of the Lagrange multiplier in the inner subdomain such that a higher regularity of the optimal control is shown. However, the so called dual variables of the optimal control problem are not unique. Hence, the application of well known and efficient optimization algorithms becomes difficult. Presenting a regularization concept, we will avoid these problems. We introduce an additional distributed control ("virtual control") which appears in the cost functional, the right hand side of the partial differential equation and in the regularized state constraints. The effect of regularization is influenced by several parameter functions. We derive an error estimate for the error between the optimal solution of the original problem and the regularized one. Moreover, under some assumptions on the parameter functions we obtain certain convergence rates of the regularization error. In the following a finite element based approximation of the regularized optimal control problems is established. Based on appropriate feasible test functions, we derive an error estimate between the optimal solution of the unregularized original problem and the regularized and discretized one. Thereby, we consider the regularization and discretization simultaneously and we propose a suitable coupling of the parameter functions and the mesh size. Forthcoming, we present the primal-dual active set strategy as a optimization method for solving the regularized optimal control problems. Moreover, we derive an error estimate between the current iterates of the algorithm and the optimal solution. Based on this, we construct an error estimator, which is reliable as an alternative stopping criterion for the primal-dual active set strategy. Finally, the theoretical results of this work are illustrated by several numerical examples.Physikalische und technische Anwendungen werden häufig durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Die Optimierung solcher Prozesse führt auf sogenannte Optimalsteuerprobleme mit partiellen Differentialgleichungen. Mit Hilfe einer Steuerungsvariable wird die Lösung der Differentialgleichung, welche Zustand genannt wird, beeinflusst. Gleichzeitig soll ein Zielfunktional minimiert werden. Bei vielen technischen Anwendungen sind punktweise Beschränkungen an den Zustand oder die Steuerung sinnvoll. Es ist bekannt, dass die zu den Zustandsbeschränkungen gehörigen Lagrangsche Multiplikatoren im allgemeinen nur reguläre Borel-Maße sind. Dies führt zu einer geringeren Regularität der optimalen Lösung des Problems. In dieser Dissertationsschrift wird ein linear-quadratisches Optimalsteuerproblem mit elliptischer partieller Differentialgleichung und Neumann-Randsteuerung untersucht. Wir betrachten punkteweise Zustandsschranken in einem inneren Teilgebiet und bilaterale Schranken an die Randsteuerung. Die räumliche Trennung der Zustandsbeschränkungen von dem Wirkungsgebiet der Steuerung gestattet an vielen Stellen den Einsatz von speziell konstruierten mathematischen Techniken. Dies betrifft sowohl Regularitätsaussagen als auch Fehlerabschätzungen. Allerdings sind die sogenannten dualen Variablen des Problems nicht eindeutig. Dies macht die Anwendung bekannter effizienter Optimierungsalgorithmen unmöglich. Es wird ein Regularisierungskonzept vorgestellt, um dieses Problem zu vermeiden. Dabei wird eine zusätzliche verteilte Steuerung ("virtuelle Steuerung") eingeführt, welche im Zielfunktional, in der rechten Seite der Differentialgleichungen und in den regularisierten Zustandsbeschränkungen auftaucht. Die Regularisierung wird durch verschiedene Parameterfunktionen beeinflusst. Wir leiten Abschätzungen für den Fehler zwischen der optimalen Lösung des Ausgangsproblems und der des regularisierten Problems her. Bei Verwendung geschickt gewählter Parameterfunktionen ergeben sich aus diesen Abschätzungen direkt Konvergenzraten für die Regularisierung. Im weiteren betrachten wir auch eine Diskretisierung des regularisierten Problems mit Hilfe von finiten Elementen. Basierend auf geeignet konstruierten zulässigen Testfunktionen wird eine Fehlerabschätzung der optimalen Lösung des unregularisierten Problems zur diskretisierten und regularisierten Lösung hergeleitet. Da der Regularisierungs- und der Diskretisierungsfehler gleichzeitig auftreten, wird eine geeignete Kopplung des Regularisierungsparameters mit der Gitterweite angegeben. Eine primal-duale aktive Mengenstrategie wird als Optimierungsalgorithmus zur Lösung der regularisierten Probleme vorgestellt. Weiterhin wird eine Fehlerabschätzung der aktuellen Iterierten dieses Algorithmus zur optimalen Lösung bewiesen. Basierend auf diesem Resultat wird ein Fehlerschätzer konstruiert, welcher als alternatives Abbruchkriterium für die aktive Mengenstrategie benutzt werden kann. Die Resultate der Arbeit werden durch verschiedene numerische Beispiele bestätigt

Boundary coefficient control --- A maximal parabolic regularity approach

We investigate a control problem for the heat equation. The goal is to find an optimal heat transfer coefficient in the Robin boundary condition such that a desired temperature distribution at the boundary is adhered. To this end we consider a function space setting in which the heat flux across the boundary is forced to be an $L^p$ function with respect to the surface measure, which in turn implies higher regularity for the time derivative of temperature. We show that the corresponding elliptic operator generates a strongly continuous semigroup of contractions and apply the concept of maximal parabolic regularity. This allows to show the existence of an optimal control and the derivation of necessary and sufficient optimality conditions

A priori error analysis for state constrained boundary control problems : Part I: Control discretization

This is the first of two papers concerned with a state-constrained optimal control problems with boundary control, where the state constraints are only imposed in an interior subdomain. We apply the virtual control concept introduced in [20] to regularize the problem. The arising regularized optimal control problem is discretized by finite elements and linear and continuous ansatz functions for the boundary control. In the first part of the work, we investigate the errors induced by the regularization and the discretization of the boundary control. The second part deals with the error arising from discretization of the PDE. Since the state constraints only appear in an inner subdomain, the obtained order of convergence exceeds the known results in the field of a priori analysis for state-constrained problem

Regional-ONline-AG

aus der Einleitung: "Innerhalb des letzten Jahres hat sich der Anteil der Internet-Teilnehmer unter den sächsischen klein- und mittelständischen Unternehmen (KMU) annähernd verdoppelt, wofür es eine Vielzahl von Beweggründen gibt. Sicher spielt dabei die Kostendegression bei Installation und Betrieb eines eigenen Anschlusses eine wichtige Rolle. Gleichwohl wird eine solche Investitionsentscheidung auch bei niedrigerem Preisniveau der Priorität des erzielbaren Nutzens folgen - im konkreten Fall also der Überzeugung, dass die Realisierung von geschäftlichen Operationen via Internet ein Gebot der Stunde ist. Internet steht für Kreativität, Schnelligkeit, Modernität und Kosteneffizienz - wenn es richtig und gekonnt eingesetzt wird. Gelingt letzteres nicht, kann Internet schnell zu Zweifeln, Langeweile und Übersättigung führen.

SUFFICIENT OPTIMALITY CONDITIONS FOR THE MOREAU-YOSIDA TYPE REGULARIZATION CONCEPT APPLIED TO SEMILINEAR ELLIPTIC OPTIMAL CONTROL PROBLEMS WITH POINTWISE STATE CONSTRAINTS

We develop sufficient optimality conditions for a Moreau-Yosidaregularized optimal control problem governed by a semilinear ellipticPDE with pointwise constraints on the state and the control. We makeuse of the equivalence of a setting of Moreau-Yosida regularization to a special setting of the virtual control concept,for which standard second order sufficient conditions have been shown. Moreover, we present a numerical example,solving a Moreau-Yosida regularized model problem with an SQP method

Regularization error estimates for semilinear elliptic optimal control problems with pointwise state and control constraints

In this paper a class of semilinear elliptic optimal control problem with pointwise state and control constraints is studied. A sufficient second order optimality condition and uniqueness of the dual variables are assumed for that problem. Sufficient second order optimality conditions are shown for regularized problems with small regularization parameter. Moreover, error estimates with respect to the regularization parameter are derived

Boundary coefficient control : a maximal parabolic regularity approach

We investigate a control problem for the heat equation. The goal is to find an optimal heat transfer coefficient in the Robin boundary condition such that a desired temperature distribution at the boundary is adhered. To this end we consider a function space setting in which the heat flux across the boundary is forced to be an $L^p$ function with respect to the surface measure, which in turn implies higher regularity for the time derivative of temperature. We show that the corresponding elliptic operator generates a strongly continuous semigroup of contractions and apply the concept of maximal parabolic regularity. This allows to show the existence of an optimal control and the derivation of necessary and sufficient optimality conditions

A priori error analysis for state constrained boundary control problems. Part II: Full discretization

This is the second of two papers concerned with a state-constrained optimal control problems with boundary control, where the state constraints are only imposed in an interior subdomain. We apply the virtual control concept introduced in [26] to regularize the problem. The arising regularized optimal control problem is discretized by finite elements and linear and continuous ansatz functions for the boundary control. In the first part of the work, we investigate the errors induced by the regularization and the discretization of the boundary control. The second part deals with the error arising from discretization of the PDE. Since the state constraints only appear in an inner subdomain, the obtained order of convergence exceeds the known results in the field of a priori analysis for state-constrained problems. The theoretical results are illustrated by numerical computations